Theoretische Grundlagen der Pushover-Analyse
Dieser Artikel fasst die nichtlineare Analyse und das Pushover-Verfahren zunächst anhand ihrer physikalischen Konzepte und anschließend anhand der einschlägigen Bestimmungen der TBDY 2018 und ihrer Umsetzung in StatiCAD zusammen. Zu den Anwendungsschritten siehe Wie führt man eine nichtlineare Pushover-Analyse durch?.
1. Warum nichtlineare Analyse?
Die lineare Berechnung nimmt an, dass jedes Element während des Erdbebens elastisch bleibt, und reduziert die Erdbebenlast mit dem Verhaltensbeiwert des Tragsystems; sie geht zwar davon aus, dass die Elemente fließen, zeigt aber nicht, wo, wie stark und in welcher Reihenfolge das Fließen auftritt. Genau diese Information wird bei der Bewertung eines bestehenden Gebäudes benötigt: Welche Träger und Stützen erfahren wie große plastische Verformungen, und liegen diese Verformungen innerhalb sicherer Grenzen?
Der Ansatz, der diese Frage beantwortet, ist die verformungsbasierte Bewertung und Bemessung (ŞGDT) (TBDY 2018 Kapitel 5). Die kraftbasierte Berechnung fragt: „Welche Kraft kann der Querschnitt aufnehmen?“, die verformungsbasierte Berechnung fragt: „Wie weit kann sich der Querschnitt verdrehen und dehnen?“
2. Materialmodelle (EK 5A)
- Bewehrungsstahl: Elastisch bis zur Streckgrenze fy; danach Fließplateau und Verfestigung (Anstieg der Festigkeit in Richtung fu); endet bei der Bruchdehnung εsu.
- Umschnürter und unumschnürter Beton (Mander-Modell): Bügel und Zwischenbügel pressen den Kernbeton seitlich zusammen; diese Umschnürungswirkung erhöht sowohl die Festigkeit (fco → fcc) als auch die Duktilität. Der wirksame seitliche Umschnürungsdruck wird mit fe = 0,5 · ke · (ρx + ρy) · fyw berechnet (ρx, ρy: volumetrische Querbewehrungsgrade, ke: Wirksamkeitsbeiwert der Umschnürung).
3. Querschnittsebene: Moment–Krümmungs-Beziehung
Werden die Materialmodelle auf die Fasern des Querschnitts verteilt, wird dem Querschnitt schrittweise eine zunehmende Krümmung aufgebracht und in jedem Schritt das Gleichgewicht der inneren Kräfte hergestellt, erhält man die Moment–Krümmungs-Kurve (M–φ). Aus der Kurve werden das Fließmoment und die Fließkrümmung (My, φy), das durch Verfestigung erreichte größte Moment (MMax), die Grenzkrümmung (φu) und die effektive Biegesteifigkeit (EIe) abgelesen.
Bei Stützen und Wandscheiben hängt die M–φ-Kurve von der Normalkraft ab; deshalb werden diese Elemente bei der Bewertung mit N = G + nQ aus den Vertikallasten analysiert.
4. Elementebene: plastisches Gelenk
Unter Erdbeben ist das Moment an den Stabenden am größten, und das Fließen beginnt zuerst an den Enden. Beim Modell der konzentrierten Plastizität bleibt der Stabkörper elastisch, und an den Enden werden plastische Gelenke angeordnet, die das M–φ-Verhalten des Querschnitts tragen. Die plastische Rotation beträgt θp = φp · Lp, die plastische Gelenklänge Lp = 0,5·h (TBDY 5.4.5.2).
In StatiCAD gibt es zwei Gelenkmodelle: elastisch–ideal plastisch (EPP) (Standard, auf der sicheren Seite) und mit Verfestigung (bilinear); bei Letzterem steigt das Gelenk mit der aus der tatsächlichen M–φ-Verfestigungssteigung des Querschnitts abgeleiteten Steifigkeit bis MMax an.
5. Systemebene: Pushover-Analyse
Die Pushover-Analyse ist eine nichtlineare statische Berechnung, bei der die Vertikallasten (G + nQ) konstant gehalten und ein proportionales horizontales Lastbild am Gebäude schrittweise gesteigert wird. Die TBDY sieht bei der Single-Mode-Pushover-Analyse vor, das Lastbild proportional zur ersten Eigenform zu wählen.
Im Verlauf der Analyse entstehen Gelenke, die Steifigkeit des Systems nimmt ab, und schließlich wird die Zielverschiebung erreicht oder es bildet sich ein Mechanismus. Der StatiCAD-Löser verwendet das Verfahren Ereignis zu Ereignis (event-to-event): In jedem Schritt findet er genau das nächste fließende Ende, steigert die Last exakt bis zu diesem Ereignis, öffnet das Gelenk und fährt mit aktualisierter Steifigkeit fort. Auf diese Weise entsteht die Pushover-Kurve ohne Inkrementfehler, und ihre Knickpunkte fallen mit den tatsächlichen Ereignissen zusammen.
6. Bedingungen der Single-Mode-Pushover-Analyse
Die feste Single-Mode-Pushover-Analyse (TBDY 5.6.3, EK 5B) ist nicht für jedes Gebäude anwendbar; nach TBDY 5.6.2.2 gilt:
| Bedingung | Grenze | Bedeutung |
|---|---|---|
| Torsionsunregelmäßigkeitsbeiwert ηbi | ≤ 1,4 (in jedem Geschoss) | Die Torsion im Grundriss muss begrenzt sein. |
| Effektiver Massenanteil der ersten Mode | ≥ 70 % | Das Verhalten muss von einer einzigen Mode dominiert werden. |
Sind die Bedingungen nicht erfüllt, ist die multimodale Pushover-Analyse oder die Berechnung im Zeitbereich erforderlich. StatiCAD prüft beide Bedingungen automatisch und zeigt sie im Bericht an. Entsprechend der am bestehenden Gebäude gesammelten Information wird der Informationsstandsbeiwert angewendet: 1,0 bei umfassendem und 0,75 bei begrenztem Informationsstand.
7. EK 5B: Ermittlung der Erdbebenanforderung
EK 5B überführt das Gebäude mit mehreren Freiheitsgraden in ein äquivalentes System mit einem Freiheitsgrad in der ersten Mode: Die Pushover-Kurve wird in den Achsen modale Beschleunigung–modale Verschiebung in ein Kapazitätsdiagramm umgewandelt und in denselben Achsen mit dem Erdbeben-Anforderungsspektrum verglichen.
Bei Bauwerken mit mittlerer und langer Periode gilt die Regel gleicher Verschiebungen (CR = 1). Bei Bauwerken mit kurzer Periode ist die Anforderung größer als der elastische Wert und wird mit dem Faktor CR vergrößert (EK 5B, iterativ). Die ermittelte Kopfverschiebungsanforderung markiert auf der Pushover-Kurve den Performance-Punkt; die Bewertung erfolgt entsprechend dem dann vorliegenden Zustand des Gebäudes.
8. Schadensgrenzen und Schadensbereiche der Elemente
Am Performance-Punkt sind die plastische Rotation jedes Gelenks und die Querschnittsdehnungen bekannt. Die TBDY vergleicht diese mit drei Grenzen:
| Grenze | Beton (εc) | Bewehrung (εs) |
|---|---|---|
| GÖ (Einsturzverhinderung) | 0,0035 + 0,04·√ωwe ≤ 0,018 | 0,4·εsu |
| KH (Kontrollierte Schädigung) | 0,75 · εc(GÖ) | 0,75 · εs(GÖ) |
| SH (Begrenzte Schädigung) | 0,0025 | 0,0075 |
ωwe ist der wirksame Umschnürungsbewehrungsgrad: Je besser die Umschnürung, desto höher die GÖ-Grenze. Die Grenzen der plastischen Rotation werden nach TBDY Gl. 5.6 und 5.7b berechnet; θp(KH) = 0,75 · θp(GÖ).
Der Vergleich der Anforderung mit den Grenzen ordnet jedes Element einem von vier Bereichen zu: dem Bereich Begrenzte Schädigung, Deutliche Schädigung, Fortgeschrittene Schädigung oder dem Einsturzbereich.
9. Entscheid über das Gebäudeleistungsniveau (TBDY 15.8)
Sind die Elementbereiche bekannt, wird auf Gebäudeebene entschieden. Zusammengefasst: Beim Niveau Begrenzte Schädigung dürfen in jedem Geschoss höchstens 20 % der Träger in den Bereich Deutliche Schädigung übergehen; beim Niveau Kontrollierte Schädigung dürfen höchstens 35 % der Träger in den Bereich Fortgeschrittene Schädigung übergehen, und der Beitrag der vertikalen Elemente in Fortgeschrittener Schädigung zur Geschossquerkraft ist begrenzt; beim Niveau Einsturzverhinderung sind schwere Schäden nur in begrenztem Umfang zulässig. Können auch diese Bedingungen nicht eingehalten werden, befindet sich das Gebäude im Einsturzzustand.
StatiCAD wendet diese Prüfungen geschossweise an und gibt die Begründung des Entscheids im Bericht ausdrücklich an (z. B. „SH sağlanamadı: kat 1’de Belirgin kiriş oranı %20’yi aşıyor → bina KH“ – SH nicht erfüllt: Im Geschoss 1 überschreitet der Anteil der Träger mit Deutlicher Schädigung 20 % → Gebäude KH).
10. Multimodale Pushover-Analyse und IRSA
Bei Gebäuden, die die Bedingungen der Single-Mode-Pushover-Analyse nicht erfüllen, erlaubt TBDY 5.6.6 die multimodale Pushover-Analyse. In StatiCAD wird jede Mode mit ihrem eigenen Lastbild aus Masse × Eigenform gesondert gepusht, die Anforderung jeder Mode wird mit ihrer eigenen Periode nach EK 5B ermittelt (bei Moden mit kurzer Periode CR > 1), und die plastischen Stabendrotationen der Elemente werden nach der CQC-Regel kombiniert. Die Schnittgrößen der Moden werden gemäß TBDY 5.6.6.2 nicht statistisch kombiniert: Da das Moment in einem geflossenen Querschnitt das Fließmoment nicht überschreiten kann, erfolgt die Kombination auf der Verformungsebene. Dass das Verfahren mit elastischen Steifigkeiten dasselbe Ergebnis liefert wie die lineare Berechnung mit Modenkombination (5.6.6.1), wird bei jeder Analyse numerisch gezeigt.
IRSA (inkrementelle Modenkombination) dagegen lässt die Pushover-Analyse in den linearen Abschnitten zwischen den Gelenkbildungen mit allen Moden fortschreiten; in jedem Abschnitt wird die Modalanalyse mit der aktuellen Steifigkeit erneuert, und die Kombination erfolgt in jedem Abschnitt.
11. Umsetzung in StatiCAD und Annahmen
| Schritt | Entsprechung in StatiCAD |
|---|---|
| Materialmodelle | EK 5A: Beton mit und ohne Umschnürung nach Mander, Stahl mit Verfestigung |
| Querschnittsanalyse | M–φ mit dem Fasermodell (Fiber); bei Stützen zwei Achsen; bei Trägern Plattenbalkenwirkung (T-Querschnitt) und getrennte Tragfähigkeiten links/rechts, positiv/negativ |
| Gelenk | Konzentrierte Plastizität, Lp = 0,5h; EPP (Standard) oder mit Verfestigung |
| Löser | Inkrementelle Pushover-Analyse Ereignis zu Ereignis; starre Deckenscheibe; acht Richtungskombinationen ±X ± 0,3Y; einschließlich Schubverformungen |
| Anforderung | EK 5B Single-Mode-Transformation; modale Größen aus der Modalanalyse; CR-Iteration |
| Prüfungen | ηbi ≤ 1,4, Massenbeteiligung ≥ 70 %, Informationsstandsbeiwert |
| Schaden | Grenzen der plastischen Rotation und Prüfungen der Querschnittsdehnungen; GÖ-Grenze mit ωwe in den Randbereichen von Wandscheiben |
| Theorie 2. Ordnung | P-Δ-Effekte werden optional über die geometrische Steifigkeit berücksichtigt |
| Validierung | Dasselbe Modell kann in SAP2000 gelöst und Kurve, Gelenkzustände und Entscheide können automatisch verglichen werden |
Annahmen: Die Normalkraft von Stützen und Wandscheiben bleibt während der Pushover-Analyse konstant (N = G + nQ; die Normalkraft–Moment-Interaktion wird nicht schrittweise aktualisiert). Beim elastisch–ideal plastischen Modell gibt es keinen Festigkeitsabfall (abfallenden Ast); bei Vergleichen mit SAP2000 ist dieser Unterschied beabsichtigt.