Theoretische Grundlagen der Stahlbemessung

Dieser Artikel fasst zusammen, welche Vorschriftenregeln das Bemessungsmodul für Stahlträger und Stahlstützen in StatiCAD wie anwendet und welche Annahmen dabei getroffen werden. Zugrunde gelegt werden das Regelwerk ÇYTHYE (türkische Bemessungs-, Berechnungs- und Ausführungsgrundsätze für Stahlbauten) und die Stahlbau betreffenden Bestimmungen der TBDY 2018. Zur Anwendung siehe den Artikel Bemessung von Stahlträgern und Stahlstützen.

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Bemessungsansatz: LRFD (Bemessung mit Last- und Widerstandsbeiwerten). Widerstandsbeiwerte: Biegung φb = 0,90; Querkraft φv = 0,90 (beim kompakten gewalzten I-Steg 1,00); Druck φc = 0,90.

1. Material- und Querschnittswerte

Die Stahlgüte wird dem Bauteil zusammen mit dem Querschnitt zugewiesen; Fy und E werden aus der Materialbibliothek gelesen. Die Querschnittswerte (A, Ix, Iy, Wel = Sx, Wpl = Zx, Zy, Sy, J, Cw, h, b, tf, tw, r) stammen aus der Datenbank der Fabrikatprofile. Der Elastizitätsmodul in der Materialbibliothek kann in kg/cm² oder in MPa definiert sein; das Programm erkennt die Einheit automatisch.

2. Biegetragfähigkeit des Trägers (Kapitel 9)

Für doppeltsymmetrische gewalzte I-/H-Träger, die um ihre starke Achse biegebeansprucht sind, sind drei Bereiche definiert (Lb: seitlich nicht gehaltene Länge):

Bereich	Bedingung	Nominelle Tragfähigkeit Mn
Fließen (plastisch)	Lb ≤ Lp	Mp = Fy·Zx
Inelastisches Biegedrillknicken	Lp < Lb ≤ Lr	Mn = Cb·[Mp − (Mp − 0,7·Fy·Sx)·(Lb − Lp)/(Lr − Lp)] ≤ Mp
Elastisches Biegedrillknicken	Lb > Lr	Mn = Fcr·Sx ≤ Mp

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• Lp = 1,76·ry·√(E/Fy)
• Fcr = Cb·π²·E/(Lb/rts)² · √(1 + 0,078·(J·c/(Sx·h0))·(Lb/rts)²)
• Lr = 1,95·rts·(E/(0,7·Fy))·√(J·c/(Sx·h0) + √((J·c/(Sx·h0))² + 6,76·(0,7·Fy/E)²))
• rts² = √(Iy·Cw)/Sx, h0 = h − tf, c = 1 (doppeltsymmetrisches I)

Im Bericht werden Lp, Lr und der Name des maßgebenden Grenzzustands ausgegeben; so lässt sich die Übereinstimmung von Lb und Grenzzustand ingenieurmäßig prüfen. Die Querschnittsklasse bei Biegung (Kompaktheit) wird eingestuft; bei nicht kompaktem Flansch kommt der Grenzzustand des lokalen Flanschbeulens zum Tragen.

2.1 Seitlich nicht gehaltene Länge Lb und Momentenbeiwert Cb

Lb ist die seitlich nicht gehaltene Länge des Druckflansches (ÇYTHYE 9.2.2). Bleiben die Felder für die seitliche Stützung (Le) in den Bauteileigenschaften automatisch, wird Lb = Bauteillänge L (zwischen den Endknoten) angesetzt und die Enden werden als seitlich gehalten angenommen (ÇYTHYE 9.1(a)). Bei vorhandener seitlicher Zwischenhaltung wird die größte nicht gehaltene Länge von Hand in das Feld Le eingegeben.

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• Cb = 12,5·Mmax / (2,5·Mmax + 3·MA + 4·MB + 3·MC) (ÇYTHYE Gl. 9.1), 1,0 ≤ Cb ≤ 3,0
• Mmax, MA, MB, MC: Beträge des größten Moments über die nicht gehaltene Länge sowie der Momente bei 1/4, 1/2 und 3/4 der Länge

Die Momente werden den Trägerstationen (Teilungsenden) der Finite-Elemente-Lösung entnommen; die Werte an den Viertelpunkten werden zwischen benachbarten Stationen linear interpoliert.

• Jede Festigkeitskombination wird mit ihrem eigenen Momentenverlauf nachgewiesen. Da Cb von der Kombination abhängt, ist die maßgebende Kombination nicht die mit dem größten Moment, sondern die mit der größten Ausnutzung (Bedarf/Tragfähigkeit). Bemessungsmoment, Kombinationsname und Cb im Bericht gehören zu dieser Kombination; Querkraft und Normalkraft werden der Einhüllenden entnommen.
• Kragträger (Bauteil, dessen eines Ende nicht an eine Stütze, eine Wand oder einen anderen Träger angeschlossen ist): Lb = L und Cb = 1,0 (ÇYTHYE 9.1(e)).
• Das Ende eines Nebenträgers, der in einen anderen Träger einbindet, gilt wie ein Stützen- oder Wandlager als Auflager; Cb wird aus dem Momentenverlauf berechnet.
• Wurde in das Feld Le ein Lb eingegeben, das kürzer als L ist (Zwischenhaltung; der Momentenverlauf des nicht gehaltenen Abschnitts ist nicht gesondert bekannt), oder ist der Träger in weniger als 4 Finite-Elemente-Abschnitte unterteilt, wird Cb = 1,0 angesetzt (sichere Seite).

3. Querkrafttragfähigkeit des Trägers (Kapitel 10)

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Vn = 0,6·Fy·Aw·Cv1, Aw = d·tw

Ist beim gewalzten I-Steg h/tw ≤ 2,24·√(E/Fy) erfüllt, wird Cv1 = 1,0 und φv = 1,00 angesetzt; andernfalls gelten die allgemeinen Stegregeln.

4. Interaktion beim Träger (Kapitel 11)

Die Wechselwirkung von Biegung, Querkraft und Normalkraft wird nachgewiesen und als einzelne Ausnutzung in den Bericht geschrieben; bei einer Ausnutzung ≤ 1,0 wird UYGUN (ERFÜLLT) gekennzeichnet.

5. Durchbiegung des Trägers

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f = 5/48 · Mmax · L² / (E·Ix) (Einfeldträger, Äquivalent der Gleichstreckenlast); Bedingung f ≤ L/K.

Mmax ist das Moment im Gebrauchszustand: der größte Wert der Kombinationen G+Q und G+S ohne Teilsicherheitsbeiwerte. Beim Kragträger wird anstelle von 5/48 der Beiwert 1/3 verwendet (Äquivalent der Einzellast am Ende; bei Streckenlast konservativ). K stammt aus der Auswahl des Durchbiegungs-K in den Bauteileigenschaften (Standard 300; 200 / 150 / von Hand).

6. Drucktragfähigkeit der Stütze (Kapitel 8)

Beim doppeltsymmetrischen I-/H-Druckstab werden drei elastische Knickspannungen berechnet; die kleinste ist maßgebend:

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• Biegeknicken: Fex = π²·E/(KLx/rx)², Fey = π²·E/(KLy/ry)²
• Drillknicken: Fez = [π²·E·Cw/(KLz)² + G·J] / (Ix + Iy), G = E/2,6
• Fe = min(Fex, Fey, Fez)
• Fy/Fe ≤ 2,25 → Fcr = 0,658^(Fy/Fe) · Fy (inelastisch); Fy/Fe > 2,25 → Fcr = 0,877·Fe (elastisch)
• Pn = Fcr·Ag, φc = 0,90

Die maßgebende Form wird im Bericht angegeben. Für die Drillknicklänge wird die Länge um die schwache Achse verwendet.

Effektive Knicklänge: Standardmäßig KL = Geschosshöhe + Höhenunterschiede des Bauteils unten/oben, K = 1,0. Durch Eingabe von K·L von Hand in die Le-Felder des Fensters für vertikale Ringbalken kann für jede Achse eine eigene Länge definiert werden. Bei KL/r > 200 wird im Bericht eine rote Warnung ausgegeben (die Berechnung wird nicht abgebrochen).

Querschnittsschlankheit (Tabelle 5.1A, Längsdruck): Flansch b/(2·tf) ≤ 0,56·√(E/Fy); Steg hw/tw ≤ 1,49·√(E/Fy). Bei einem Querschnitt, der die Grenze überschreitet (schlank), wird das Bauteil im Bericht als „narin enkesit“ (schlanker Querschnitt) gekennzeichnet und als unzureichend gewertet.

7. Biegetragfähigkeit der Stütze um die schwache Achse

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Mny = Fy·Zy ≤ 1,6·Fy·Sy (um die schwache Achse tritt kein Biegedrillknicken auf).

8. Interaktion bei der Stütze (Kapitel 11.3)

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• Pr/Pc ≥ 0,2: Pr/Pc + 8/9·(Mrx/Mcx + Mry/Mcy) ≤ 1,0 (11.3a)
• Pr/Pc < 0,2: Pr/(2·Pc) + (Mrx/Mcx + Mry/Mcy) ≤ 1,0 (11.3b)

Pc = φc·Pn; Mcx, die Tragfähigkeit um die starke Achse einschließlich Biegedrillknicken (Lb = KLy, Cb = 1,0), und Mcy werden nach der Regel für die schwache Achse berechnet. Die verwendete Gleichung wird im Bericht angegeben.

9. Schnittgrößen und Lastkombinationen

Für den Träger M, V (und N), für die Stütze N, Mx, My und V werden aus der Finite-Elemente-Berechnung des Programms als Einhüllende der folgenden Kombinationen entnommen:

• Kombinationen des Programms, in für die Stahlbemessung umgewandelter Form: in Kombinationen mit Erdbeben 1,0G → 1,2G und Q mindestens 1,0Q (TBDY 4.4.4.2). Die Namen dieser Kombinationen erscheinen im Bericht mit dem Zusatz „[1.2G+1.0Q]“.
• ÇYTHYE-LRFD-Kombinationen (aus den einfachen Lastfällen G, Q, S, W): 1,4G; 1,2G + 1,6Q (+0,5S); 1,2G + 1,6S (+1,0Q); bei definiertem Wind je Windlastfall 1,2G + 1,6S + 0,8W, 1,2G + 1,0Q (+0,5S) + 1,6W und 0,9G + 1,6W.

Ist kein Windlastfall definiert, wird eine Berechnungswarnung ausgegeben. Der Name der maßgebenden Kombination der Einhüllenden wird im Bericht neben der Beanspruchung angezeigt.

9.1 Versatzbedingte künstliche Normalkraft

Ist in den Allgemeinen Projekteinstellungen Offset1 und Offset2 in der Systemsteifigkeitsmatrix berücksichtigen oder bei definierter Achse Exzentrizitäten in der Systemsteifigkeitsmatrix berücksichtigen markiert, wird die Trägerachse um e2 = Offset2 − h/2 unterhalb der Knotenachse modelliert. Da die starre Scheibe oder die Auflager die axiale Verschiebung der Knoten festhalten, entsteht im Träger eine Normalkraft, die in Wirklichkeit nicht vorhanden ist (Wirkung eines Verbundquerschnitts mit unendlich steifem Gurt). Diese Kraft ist in jeder Kette zwischen den Scheibenknoten konstant:

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• Nk = ck · M̄3, ck = A·e2 / (I3 + A·e2²)
• M̄3: längengewichtetes mittleres Moment entlang der Kette; M3 ist das Gesamtmoment bezogen auf die Knotenachse.

Für IPE 300 (A = 53,81 cm², I3 = 8356 cm⁴, e2 = −15 cm) ergibt sich ck = −3,944 m⁻¹; die Normalkräfte der Finite-Elemente-Stäbe geben diesen Wert auf vier Stellen genau wieder. Ohne Abzug erreicht diese Kraft in den Testmodellen 318–721 kN und vergrößert die Ausnutzung M–N–V um etwa 30 %. Das Programm zieht den Anteil, wie bei Leichtstahl-Trägern, von der Stab-Normalkraft jedes Lastfalls ab (siehe Theoretische Grundlagen der Leichtstahlbemessung, Abschnitt 12): Das Moment bleibt unverändert; der abgezogene Anteil überschreitet |N| nicht und kehrt sein Vorzeichen nicht um; Ketten werden aus aufeinanderfolgenden Abschnitten mit gleichem N erkannt (ist die Option „Zwischenknoten der Träger nicht an die starre Scheibe koppeln“ eingeschaltet, bildet der gesamte Träger eine einzige Kette). Die verbleibende Normalkraft ist der Rest der Trapezregel aus dem Mittelwert der Endmomente (bei Streckenlast (2/3)/n² des Scheitelwerts; bei 12 Abschnitten 0,5 %, auf der sicheren Seite). Der Einfluss des Offsets auf die Trägersteifigkeit ist ein Modellergebnis und bleibt erhalten: Beim beidseitig eingespannten Träger können die Endmomente bei eingeschaltetem Offset größer ausfallen (in einem Beispiel 84,8 kNm gegenüber 74,5 kNm).

10. Grenzen des Anwendungsbereichs

• Der Tragfähigkeitsnachweis ist auf warmgewalzte doppeltsymmetrische I-/H-Profile beschränkt; U-, L-, T-, Kasten- und Rohrprofile können zugewiesen werden, werden im Bericht jedoch als „kesit tipi desteklenmiyor“ (Querschnittstyp nicht unterstützt) gekennzeichnet.
• Die Berechnung kaltgeformter Profile erfolgt im Modul für leichte Stahlbauten.
• Beim Träger wird Cb aus dem Momentenverlauf der Kombination berechnet (Abschnitt 2.1); bei Biegung der Stütze um die starke Achse wird Cb = 1,0 angesetzt. Bei Stützen wird K = 1,0 angenommen; abweichende Lagerungsbedingungen gibt der Benutzer über die Le-Felder vor.
• Das Verfahren der wirksamen Fläche bei schlankem Querschnitt sowie das Biege-Drillknicken (Torsions-Biegeknicken) einfachsymmetrischer Querschnitte sind nicht vorhanden.
• Die Duktilitäts-Querschnittsbedingungen für Erdbeben nach TBDY Kapitel 9, das Stützen-Träger-Kapazitätsverhältnis und Diagonalstäbe liegen außerhalb des Umfangs dieser Version.
• Die seitliche Stützung beim Träger wird als eine einzige Länge angesetzt; eine Definition einer Liste von Zwischenstützungen gibt es nicht (beim zwischengehaltenen Träger Cb = 1,0). Das automatische Lb ist die Länge zwischen den Endknoten: Bei einem Träger, der in derselben Richtung in Abschnitte ohne Zwischenauflager unterteilt ist, muss die tatsächliche nicht gehaltene Länge in das Feld Le eingegeben werden.