Fondements théoriques de l’analyse pushover
Cet article résume l’analyse non linéaire et la méthode pushover (poussée progressive), d’abord par leurs notions physiques, puis par les dispositions correspondantes de TBDY 2018 et leur implémentation dans StatiCAD. Pour les étapes d’utilisation, voir l’article Analyse pushover non linéaire : comment la réaliser ?.
1. Pourquoi une analyse non linéaire ?
Le calcul linéaire suppose que chaque élément reste élastique pendant le séisme et réduit la charge sismique par le coefficient de comportement du système porteur ; il admet que les éléments se plastifient, mais ne montre pas où, de combien et dans quel ordre la plastification se produit. Or c’est exactement cette information qu’exige l’évaluation d’un bâtiment existant : quelles poutres et quels poteaux subissent quelle déformation plastique, et ces déformations restent-elles dans des limites sûres ?
L’approche qui répond à cette question est l’évaluation et la conception basées sur les déformations (ŞGDT) (TBDY 2018 Chapitre 5). Le calcul fondé sur les forces demande « quelle force la section peut-elle reprendre ? », le calcul fondé sur les déformations demande « de combien la section peut-elle tourner et s’allonger ? ».
2. Modèles de matériaux (EK 5A)
- Acier d’armature : élastique jusqu’à la limite d’élasticité fy ; ensuite palier de plastification et écrouissage (augmentation de la résistance vers fu) ; se termine à l’allongement de rupture εsu.
- Béton confiné et non confiné (modèle de Mander) : les cadres et les épingles compriment latéralement le béton du noyau ; cet effet de confinement augmente à la fois la résistance (fco → fcc) et la ductilité. La pression latérale de confinement efficace est calculée par fe = 0,5 · ke · (ρx + ρy) · fyw (ρx, ρy : taux volumiques d’armature transversale, ke : coefficient d’efficacité du confinement).
3. Niveau de la section : relation moment–courbure
Si les modèles de matériaux sont répartis sur les fibres de la section et qu’on applique à la section une courbure croissante pas à pas, en établissant à chaque pas l’équilibre des forces internes, on obtient la courbe moment–courbure (M–φ). De cette courbe on lit le moment et la courbure de plastification (My, φy), le moment maximal atteint avec l’écrouissage (MMax), la courbure ultime (φu) et la rigidité de flexion effective (EIe).
Pour les poteaux et les voiles, la courbe M–φ dépend de l’effort axial ; c’est pourquoi, dans l’évaluation, ces éléments sont analysés avec N = G + nQ issu des charges verticales.
4. Niveau de l’élément : rotule plastique
Sous séisme, le moment est maximal aux extrémités des éléments et la plastification débute d’abord aux extrémités. Dans le modèle de plasticité concentrée, le corps de l’élément reste élastique et des rotules plastiques portant le comportement M–φ de la section sont placées à ses extrémités. La rotation plastique est θp = φp · Lp, et la longueur de rotule plastique est Lp = 0,5·h (TBDY 5.4.5.2).
Dans StatiCAD, il existe deux modèles de rotule : élastique–parfaitement plastique (EPP) (par défaut, côté sécurité) et avec écrouissage (bilinéaire) ; dans ce dernier, la rotule monte jusqu’à MMax avec une rigidité dérivée de la pente d’écrouissage réelle de M–φ de la section.
5. Niveau du système : analyse de poussée
L’analyse de poussée est un calcul statique non linéaire réalisé en augmentant pas à pas, sur le bâtiment, une distribution de charges horizontales proportionnelle, tandis que les charges verticales (G + nQ) sont maintenues constantes. Pour la poussée monomodale, TBDY prévoit que la distribution de charges soit choisie proportionnelle à la forme du premier mode.
Au fil de l’analyse, des rotules se forment, la rigidité du système diminue et l’on atteint finalement soit le déplacement cible, soit un mécanisme. Le solveur StatiCAD utilise la méthode événement par événement (event-to-event) : à chaque pas, il trouve exactement la prochaine extrémité qui va se plastifier, augmente la charge jusqu’à cet événement précis, ouvre la rotule, met à jour la rigidité et poursuit. La courbe de poussée est ainsi produite sans erreur d’incrément, les points de rupture de pente coïncidant avec les événements réels.
6. Conditions de la poussée monomodale
La poussée monomodale fixe (TBDY 5.6.3, EK 5B) n’est pas utilisable dans tous les bâtiments ; selon TBDY 5.6.2.2 :
| Condition | Limite | Signification |
|---|---|---|
| Coefficient d’irrégularité de torsion ηbi | ≤ 1,4 (à chaque étage) | La torsion en plan doit être limitée. |
| Taux de masse effective du premier mode | ≥ 70 % | Le comportement doit être dominé par un seul mode. |
Si les conditions ne sont pas satisfaites, la poussée multimodale ou un calcul dans le domaine temporel est nécessaire. StatiCAD contrôle automatiquement les deux conditions et les affiche dans le rapport. Selon les informations recueillies sur le bâtiment existant, le coefficient de niveau de connaissance est appliqué : 1,0 pour un niveau de connaissance complet, 0,75 pour un niveau de connaissance limité.
7. EK 5B : détermination de la demande sismique
EK 5B transforme le bâtiment à plusieurs degrés de liberté en un système équivalent à un seul degré de liberté associé au premier mode : la courbe de poussée est convertie en un diagramme de capacité dans les axes accélération modale–déplacement modal, et comparée, dans les mêmes axes, au spectre de demande sismique.
Pour les structures de période moyenne et longue, la règle d’égalité des déplacements s’applique (CR = 1). Pour les structures de courte période, la demande est supérieure à la valeur élastique et est amplifiée par le coefficient CR (EK 5B, par itération). La demande de déplacement en tête ainsi obtenue repère le point de performance sur la courbe de poussée ; l’évaluation est faite selon l’état du bâtiment à ce moment.
8. Limites de dommage et zones de dommage des éléments
Au point de performance, la rotation plastique de chaque rotule et les déformations unitaires de la section sont connues. TBDY les compare à trois limites :
| Limite | Béton (εc) | Armature (εs) |
|---|---|---|
| GÖ (Prévention de l’Effondrement) | 0,0035 + 0,04·√ωwe ≤ 0,018 | 0,4·εsu |
| KH (Dommage Contrôlé) | 0,75 · εc(GÖ) | 0,75 · εs(GÖ) |
| SH (Dommage Limité) | 0,0025 | 0,0075 |
ωwe est le taux d’armature de confinement efficace : meilleur est le confinement, plus la limite GÖ est élevée. Les limites de rotation plastique sont calculées avec TBDY Éq. 5.6 et 5.7b ; θp(KH) = 0,75 · θp(GÖ).
La comparaison de la demande avec les limites place chaque élément dans l’une des quatre zones : zone de Dommage Limité, de Dommage Significatif, de Dommage Avancé et d’Effondrement.
9. Décision sur le niveau de performance du bâtiment (TBDY 15.8)
Une fois les zones des éléments connues, la décision est rendue à l’échelle du bâtiment. En résumé : au niveau de Dommage Limité, à chaque étage, au plus 20 % des poutres peuvent passer dans la zone de Dommage Significatif ; au niveau de Dommage Contrôlé, au plus 35 % des poutres peuvent passer dans la zone de Dommage Avancé et la contribution des éléments verticaux en Dommage Avancé à l’effort tranchant d’étage est limitée ; au niveau de Prévention de l’Effondrement, un dommage sévère n’est admis que dans une mesure limitée. Si ces conditions ne peuvent pas non plus être satisfaites, le bâtiment est en situation d’effondrement.
StatiCAD applique ces contrôles étage par étage et écrit clairement la justification de la décision dans le rapport (par ex. « SH sağlanamadı: kat 1’de Belirgin kiriş oranı %20’yi aşıyor → bina KH » — SH non satisfait : au niveau 1, le ratio de poutres en Dommage Significatif dépasse 20 % → bâtiment KH).
10. Poussée multimodale et IRSA
Pour les bâtiments qui ne satisfont pas les conditions de la poussée monomodale, TBDY 5.6.6 autorise la poussée multimodale. Dans StatiCAD, chaque mode est poussé séparément avec sa propre distribution masse × forme modale, la demande de chaque mode est trouvée par EK 5B avec sa propre période (CR > 1 pour les modes de courte période), et les rotations plastiques d’extrémité des éléments sont combinées par la règle CQC. Conformément à TBDY 5.6.6.2, les efforts internes modaux ne sont pas combinés statistiquement : dans une section plastifiée, le moment ne pouvant pas dépasser le moment de plastification, la combinaison est faite au niveau des déformations. Le fait que la méthode, avec des rigidités élastiques, donne le même résultat que le calcul linéaire à combinaison modale (5.6.6.1) est démontré numériquement à chaque analyse.
IRSA (combinaison modale incrémentale) fait quant à elle progresser la poussée, avec tous les modes, dans les tronçons linéaires entre deux formations de rotules ; dans chaque tronçon, l’analyse modale est renouvelée avec la rigidité courante et la combinaison est effectuée à chaque tronçon.
11. Implémentation dans StatiCAD et hypothèses
| Étape | Équivalent dans StatiCAD |
|---|---|
| Modèles de matériaux | EK 5A : béton confiné et non confiné de Mander, acier avec écrouissage |
| Analyse de section | M–φ par modèle à fibres ; deux axes pour les poteaux ; effet de table (section en T) pour les poutres et capacités distinctes gauche/droite, positive/négative |
| Rotule | Plasticité concentrée, Lp = 0,5h ; EPP (par défaut) ou avec écrouissage |
| Solveur | Poussée incrémentale événement par événement ; diaphragme rigide ; huit combinaisons de directions ±X ± 0,3Y ; déformations de cisaillement incluses |
| Demande | Transformation monomodale EK 5B ; grandeurs modales issues de l’analyse modale ; itération de CR |
| Contrôles | ηbi ≤ 1,4, participation massique ≥ 70 %, coefficient de niveau de connaissance |
| Dommage | Limites de rotation plastique et vérifications de déformation unitaire de la section ; limite GÖ avec ωwe dans les zones d’extrémité des voiles |
| Second ordre | Les effets P-Δ sont pris en compte, en option, par la rigidité géométrique |
| Validation | Le même modèle peut être résolu dans SAP2000 et la courbe, l’état des rotules et les décisions comparés automatiquement |
Hypothèses : l’effort axial des poteaux et des voiles est constant pendant toute la poussée (N = G + nQ ; l’interaction effort axial–moment n’est pas mise à jour pas à pas). Dans le modèle élastique–parfaitement plastique, il n’y a pas de perte de résistance (branche descendante) ; dans les comparaisons avec SAP2000, cette différence est délibérée.