Fondamenti teorici dell'analisi pushover
Questo articolo riassume l'analisi non lineare e il metodo pushover, prima nei loro concetti fisici e poi con le disposizioni pertinenti di TBDY 2018 e la loro implementazione in StatiCAD. Per i passaggi operativi consultare l'articolo Come eseguire l'analisi pushover non lineare.
1. Perché l'analisi non lineare?
Il calcolo lineare assume che ogni elemento resti elastico durante il sisma e riduce il carico sismico con il coefficiente di comportamento del sistema resistente; ammette che gli elementi si snervino, ma non mostra dove, quanto e in quale sequenza avvenga lo snervamento. Nella valutazione di un edificio esistente serve proprio questa informazione: quali travi e pilastri subiscono quanta deformazione plastica e se tali deformazioni rientrano nei limiti di sicurezza.
L'approccio che risponde a questa domanda è la Valutazione e Progettazione basata sulle Deformazioni (ŞGDT) (TBDY 2018 Capitolo 5). Il calcolo basato sulle forze chiede "quale forza sopporta la sezione?", quello basato sulle deformazioni chiede "quanto può ruotare e allungarsi la sezione?".
2. Modelli dei materiali (EK 5A)
- Acciaio d'armatura: elastico fino alla resistenza di snervamento fy; poi plateau di snervamento e incrudimento (aumento della resistenza verso fu); termina alla deformazione unitaria di rottura εsu.
- Calcestruzzo confinato e non confinato (modello di Mander): le staffe e le legature comprimono lateralmente il calcestruzzo del nucleo; questo effetto di confinamento aumenta sia la resistenza (fco → fcc) sia la duttilità. La pressione laterale efficace di confinamento è calcolata con fe = 0,5 · ke · (ρx + ρy) · fyw (ρx, ρy: rapporti volumetrici dell'armatura trasversale, ke: coefficiente di efficacia del confinamento).
3. Livello di sezione: relazione momento–curvatura
Distribuendo i modelli dei materiali sulle fibre della sezione, applicando alla sezione una curvatura crescente passo per passo e stabilendo a ogni passo l'equilibrio delle forze interne, si ottiene la curva momento–curvatura (M–φ). Dalla curva si leggono il momento e la curvatura di snervamento (My, φy), il momento massimo raggiunto con l'incrudimento (MMax), la curvatura ultima (φu) e la rigidezza flessionale efficace (EIe).
Per pilastri e setti la curva M–φ dipende dallo sforzo normale; per questo nella valutazione tali elementi sono analizzati con N = G + nQ derivante dai carichi verticali.
4. Livello di elemento: cerniera plastica
Sotto sisma il momento è massimo alle estremità degli elementi e lo snervamento inizia prima alle estremità. Nel modello di plasticità concentrata il corpo dell'elemento resta elastico e alle estremità vengono collocate cerniere plastiche che portano il comportamento M–φ della sezione. La rotazione plastica è θp = φp · Lp, con lunghezza della cerniera plastica Lp = 0,5·h (TBDY 5.4.5.2).
In StatiCAD esistono due modelli di cerniera: elastico–perfettamente plastico (EPP) (predefinito, a favore di sicurezza) e con incrudimento (bilineare); nel secondo la cerniera cresce fino a MMax con la rigidezza derivata dalla pendenza di incrudimento M–φ reale della sezione.
5. Livello di sistema: analisi pushover
L'analisi pushover è un calcolo statico non lineare eseguito incrementando passo per passo una distribuzione di carico orizzontale proporzionale sull'edificio, mentre i carichi verticali (G + nQ) sono mantenuti costanti. Per il pushover monomodale TBDY prevede che la distribuzione di carico sia scelta proporzionale alla forma del primo modo.
Con il procedere dell'analisi si formano le cerniere, la rigidezza del sistema diminuisce e infine si raggiunge lo spostamento obiettivo oppure si forma un meccanismo. Il solutore di StatiCAD usa il metodo evento per evento (event-to-event): a ogni passo individua esattamente la prossima estremità che si snerverà, amplifica il carico esattamente fino a quell'evento, apre la cerniera e prosegue aggiornando la rigidezza. In questo modo la curva di pushover è prodotta senza errore di incremento, con i punti di rottura coincidenti con gli eventi reali.
6. Condizioni del pushover monomodale
Il pushover monomodale fisso (TBDY 5.6.3, EK 5B) non è utilizzabile in ogni edificio; secondo TBDY 5.6.2.2:
| Condizione | Limite | Significato |
|---|---|---|
| Coefficiente di irregolarità torsionale ηbi | ≤ 1,4 (a ogni piano) | La torsione in pianta deve essere limitata. |
| Rapporto di massa efficace del primo modo | ≥ 70 % | Il comportamento deve essere dominato da un solo modo. |
Se le condizioni non sono soddisfatte occorre il pushover multimodale oppure il calcolo nel dominio del tempo. StatiCAD verifica automaticamente entrambe le condizioni e le mostra nella relazione. In base alle informazioni raccolte sull'edificio esistente si applica il coefficiente del livello di conoscenza: 1,0 per il livello di conoscenza esaustivo, 0,75 per quello limitato.
7. EK 5B: determinazione della domanda sismica
EK 5B trasforma l'edificio a più gradi di libertà in un sistema equivalente a un grado di libertà associato al primo modo: la curva di pushover viene convertita in un diagramma di capacità negli assi accelerazione modale–spostamento modale e confrontata, negli stessi assi, con lo spettro di domanda sismica.
Nelle strutture a periodo medio e lungo vale la regola dell'uguale spostamento (CR = 1). Nelle strutture a periodo breve la domanda è maggiore del valore elastico e viene amplificata con il coefficiente CR (EK 5B, per iterazione). La domanda di spostamento in sommità così ottenuta individua sulla curva di pushover il punto di prestazione; la valutazione è condotta in base allo stato dell'edificio in quel momento.
8. Limiti di danno e regioni di danno degli elementi
Nel punto di prestazione sono note la rotazione plastica di ciascuna cerniera e le deformazioni unitarie della sezione. TBDY le confronta con tre limiti:
| Limite | Calcestruzzo (εc) | Armatura (εs) |
|---|---|---|
| GÖ (Prevenzione del Collasso) | 0,0035 + 0,04·√ωwe ≤ 0,018 | 0,4·εsu |
| KH (Danno Controllato) | 0,75 · εc(GÖ) | 0,75 · εs(GÖ) |
| SH (Danno Limitato) | 0,0025 | 0,0075 |
ωwe è il rapporto di armatura di confinamento efficace: quanto migliore è il confinamento, tanto più alto è il limite GÖ. I limiti di rotazione plastica sono calcolati con TBDY Eq. 5.6 e 5.7b; θp(KH) = 0,75 · θp(GÖ).
Il confronto della domanda con i limiti colloca ogni elemento in una di quattro regioni: Danno Limitato, Danno Significativo, Danno Avanzato e regione di Collasso.
9. Giudizio sul livello prestazionale dell'edificio (TBDY 15.8)
Note le regioni degli elementi, si formula il giudizio a livello di edificio. In sintesi: al livello di Danno Limitato, a ogni piano al massimo il 20 % delle travi può passare nella regione di Danno Significativo; al livello di Danno Controllato, al massimo il 35 % delle travi può passare nella regione di Danno Avanzato e il contributo degli elementi verticali in Danno Avanzato al taglio di piano è limitato; al livello di Prevenzione del Collasso, il danno grave è ammesso in misura limitata. Se anche queste condizioni non possono essere soddisfatte, l'edificio si trova in stato di collasso.
StatiCAD applica questi controlli piano per piano e scrive chiaramente nella relazione la motivazione del giudizio (ad es. "SH sağlanamadı: kat 1’de Belirgin kiriş oranı %20’yi aşıyor → bina KH", ovvero SH non soddisfatto: al piano 1 la percentuale di travi in Danno Significativo supera il 20 % → edificio KH).
10. Pushover multimodale e IRSA
Per gli edifici che non soddisfano le condizioni del pushover monomodale, TBDY 5.6.6 consente il pushover multimodale. In StatiCAD ogni modo viene spinto separatamente con la propria distribuzione massa × forma modale, la domanda di ciascun modo viene ricavata da EK 5B con il proprio periodo (CR > 1 nei modi a periodo breve) e le rotazioni plastiche di estremità degli elementi sono combinate con la regola CQC. Le sollecitazioni modali, ai sensi di TBDY 5.6.6.2, non vengono combinate statisticamente: poiché in una sezione snervata il momento non può superare il momento di snervamento, la combinazione viene effettuata a livello di deformazione. Il fatto che il metodo, con rigidezze elastiche, fornisca lo stesso risultato del calcolo lineare con combinazione modale (5.6.6.1) viene mostrato numericamente a ogni analisi.
IRSA (combinazione modale incrementale) fa invece procedere la spinta nei tratti lineari tra una formazione di cerniera e l'altra con tutti i modi; in ogni tratto l'analisi modale viene rinnovata con la rigidezza corrente e la combinazione viene effettuata in ogni tratto.
11. Implementazione in StatiCAD e ipotesi
| Passo | Corrispondenza in StatiCAD |
|---|---|
| Modelli dei materiali | EK 5A: calcestruzzo confinato e non confinato di Mander, acciaio con incrudimento |
| Analisi della sezione | M–φ con modello a fibre; due assi nei pilastri; effetto dell'ala (sezione a T) nelle travi e capacità distinte sinistra/destra, positiva/negativa |
| Cerniera | Plasticità concentrata, Lp = 0,5h; EPP (predefinito) o con incrudimento |
| Solutore | Pushover incrementale evento per evento; diaframma rigido; otto combinazioni di direzione ±X ± 0,3Y; deformazioni a taglio incluse |
| Domanda | Trasformazione monomodale EK 5B; grandezze modali dall'analisi modale; iterazione di CR |
| Controlli | ηbi ≤ 1,4, partecipazione di massa ≥ 70 %, coefficiente del livello di conoscenza |
| Danno | Limiti di rotazione plastica e controlli della deformazione unitaria della sezione; limite GÖ con ωwe nelle zone di estremità dei setti |
| Secondo ordine | Gli effetti P-Δ possono essere considerati opzionalmente con la rigidezza geometrica |
| Validazione | Lo stesso modello può essere risolto in SAP2000 e curva, stati delle cerniere e giudizi possono essere confrontati automaticamente |
Ipotesi: lo sforzo normale di pilastri e setti è costante durante il pushover (N = G + nQ; l'interazione sforzo normale–momento non viene aggiornata passo per passo). Nel modello elastico–perfettamente plastico non esiste perdita di resistenza (ramo discendente); nei confronti con SAP2000 questa differenza è intenzionale.