Теоретические основы pushover-анализа
Эта статья кратко излагает нелинейный анализ и метод pushover (push-over): сначала через физические понятия, затем через соответствующие положения TBDY 2018 и их реализацию в StatiCAD. Порядок выполнения см. в статье Как выполнить нелинейный pushover-анализ (метод push-over)?.
1. Зачем нужен нелинейный анализ?
Линейный расчёт предполагает, что каждый элемент остаётся упругим в течение всего землетрясения, и уменьшает сейсмическую нагрузку коэффициентом поведения несущей системы; он допускает, что элементы переходят в текучесть, но не показывает, где, насколько и в какой последовательности это происходит. При оценке существующего здания нужна именно эта информация: какие балки и колонны получают какие пластические деформации и находятся ли эти деформации в безопасных пределах?
Подход, отвечающий на этот вопрос, — Оценка и проектирование по деформациям (ŞGDT) (TBDY 2018, Глава 5). Силовой расчёт спрашивает: «какое усилие воспринимает сечение?», а расчёт по деформациям — «насколько сечение может повернуться и удлиниться?».
2. Модели материалов (Приложение 5A)
- Арматурная сталь: упругая работа до предела текучести fy; далее площадка текучести и упрочнение (рост прочности к fu); заканчивается при предельной деформации разрыва εsu.
- Конфайнированный и неконфайнированный бетон (модель Мандера): хомуты и стяжки сжимают бетон ядра в поперечном направлении; этот эффект обоймления повышает как прочность (fco → fcc), так и пластичность. Эффективное боковое давление обоймления вычисляется как fe = 0,5 · ke · (ρx + ρy) · fyw (ρx, ρy — объёмные коэффициенты поперечного армирования, ke — коэффициент эффективности обоймления).
3. Уровень сечения: зависимость момент–кривизна
Если модели материалов распределить по волокнам сечения, шаг за шагом увеличивать кривизну сечения и на каждом шаге устанавливать равновесие внутренних сил, получается кривая момент–кривизна (M–φ). По кривой определяются момент и кривизна текучести (My, φy), наибольший момент, достигаемый при упрочнении (MMax), предельная кривизна (φu) и эффективная изгибная жёсткость (EIe).
В колоннах и стенах жёсткости кривая M–φ зависит от осевого усилия; поэтому при оценке эти элементы анализируются при N = G + nQ от вертикальных нагрузок.
4. Уровень элемента: пластический шарнир
При землетрясении момент наибольший на концах элементов, и текучесть начинается прежде всего на концах. В модели сосредоточенной пластичности тело элемента остаётся упругим, а на его концах размещаются пластические шарниры, несущие M–φ-поведение сечения. Пластический поворот θp = φp · Lp, длина пластического шарнира Lp = 0,5·h (TBDY 5.4.5.2).
В StatiCAD имеются две модели шарнира: упругопластическая без упрочнения (EPP) (по умолчанию, в запас) и с упрочнением (билинейная); во второй шарнир повышается до MMax с жёсткостью, выведенной из реального наклона упрочнения M–φ сечения.
5. Уровень системы: pushover-анализ
Pushover-анализ — это нелинейный статический расчёт, выполняемый путём пошагового увеличения пропорциональной схемы горизонтальной нагрузки на здание при неизменных вертикальных нагрузках (G + nQ). TBDY предусматривает, что при одномодальном pushover схема нагрузок принимается пропорциональной первой форме колебаний.
По мере анализа образуются шарниры, жёсткость системы снижается, и в конце достигается целевое перемещение либо образуется механизм. Решатель StatiCAD использует метод от события к событию (event-to-event): на каждом шаге он точно находит следующий конец, который перейдёт в текучесть, увеличивает нагрузку ровно до этого события, раскрывает шарнир и продолжает расчёт с обновлённой жёсткостью. Благодаря этому кривая pushover строится без погрешности приращения, а точки излома совпадают с реальными событиями.
6. Условия применимости одномодального pushover
Фиксированный одномодальный pushover (TBDY 5.6.3, Приложение 5B) применим не к каждому зданию; согласно TBDY 5.6.2.2:
| Условие | Предел | Смысл |
|---|---|---|
| Коэффициент нерегулярности по кручению ηbi | ≤ 1,4 (на каждом этаже) | Кручение в плане должно быть ограничено. |
| Доля эффективной массы первой моды | ≥ 70 % | Поведение должно определяться одной модой. |
Если условия не выполняются, необходим многомодальный pushover или расчёт во временной области. StatiCAD автоматически проверяет оба условия и показывает их в отчёте. В существующем здании применяется коэффициент уровня информации по собранным сведениям: 1,0 при всестороннем уровне информации и 0,75 при ограниченном.
7. Приложение 5B: определение сейсмического запроса
Приложение 5B преобразует многостепенное здание в эквивалентную систему с одной степенью свободы по первой моде: кривая pushover переводится в диаграмму несущей способности в осях модальное ускорение – модальное перемещение и сопоставляется в тех же осях со спектром сейсмического запроса.
В сооружениях со средними и длинными периодами действует правило равных перемещений (CR = 1). В сооружениях с короткими периодами запрос больше упругого значения и увеличивается коэффициентом CR (Приложение 5B, итерационно). Найденный запрос по перемещению верха отмечает на кривой pushover точку эксплуатационных характеристик; оценка выполняется по состоянию здания в этот момент.
8. Пределы повреждений и области повреждений элементов
В точке эксплуатационных характеристик известны пластический поворот каждого шарнира и деформации сечения. TBDY сопоставляет их с тремя пределами:
| Предел | Бетон (εc) | Арматура (εs) |
|---|---|---|
| GÖ (Предотвращение обрушения) | 0,0035 + 0,04·√ωwe ≤ 0,018 | 0,4·εsu |
| KH (Контролируемые повреждения) | 0,75 · εc(GÖ) | 0,75 · εs(GÖ) |
| SH (Ограниченные повреждения) | 0,0025 | 0,0075 |
ωwe — эффективный коэффициент армирования обоймления: чем лучше обоймление, тем выше предел GÖ. Пределы пластических поворотов вычисляются по формулам TBDY (5.6) и (5.7b); θp(KH) = 0,75 · θp(GÖ).
Сопоставление запроса с пределами относит каждый элемент к одной из четырёх областей: области Ограниченных повреждений, Значительных повреждений, Продвинутых повреждений и Обрушения.
9. Заключение об уровне эксплуатационных характеристик здания (TBDY 15.8)
Когда области элементов известны, выносится заключение на уровне здания. Кратко: на уровне Ограниченных повреждений на каждом этаже не более 20 % балок может перейти в область Значительных повреждений; на уровне Контролируемых повреждений не более 35 % балок может перейти в область Продвинутых повреждений, а вклад вертикальных элементов в области Продвинутых повреждений в этажную поперечную силу ограничен; на уровне Предотвращения обрушения тяжёлые повреждения допускаются в ограниченной мере. Если не удовлетворяются и эти условия, здание находится в состоянии обрушения.
StatiCAD применяет эти проверки этаж за этажом и прямо указывает в отчёте обоснование заключения (например, «SH не обеспечен: на этаже 1 доля балок со значительными повреждениями превышает 20 % → здание KH»).
10. Многомодальный pushover и IRSA
Для зданий, не удовлетворяющих условиям одномодального pushover, TBDY 5.6.6 допускает многомодальный pushover. В StatiCAD каждая мода нагружается отдельно по собственной схеме «масса × форма моды», запрос каждой моды определяется по Приложению 5B с её собственным периодом (для коротких мод CR > 1), а пластические повороты на концах элементов объединяются по правилу CQC. Внутренние усилия мод в соответствии с TBDY 5.6.6.2 статистически не объединяются: поскольку момент в перешедшем в текучесть сечении не может превысить момент текучести, объединение выполняется на уровне деформаций. Совпадение метода при упругих жёсткостях с линейным расчётом с объединением мод (5.6.6.1) численно демонстрируется при каждом анализе.
IRSA (пошаговое объединение мод) продвигает нагружение по линейным участкам между образованиями шарниров сразу по всем модам; на каждом участке модальный анализ обновляется с учётом текущей жёсткости, и объединение выполняется на каждом участке.
11. Реализация в StatiCAD и принятые допущения
| Шаг | Реализация в StatiCAD |
|---|---|
| Модели материалов | Приложение 5A: бетон с обоймлением и без по Мандеру, сталь с упрочнением |
| Анализ сечения | M–φ по волоконной модели; в колоннах две оси; в балках учёт полки (тавровое сечение) и раздельные несущие способности слева/справа, положительные/отрицательные |
| Шарнир | Сосредоточенная пластичность, Lp = 0,5h; EPP (по умолчанию) или с упрочнением |
| Решатель | Пошаговый pushover от события к событию; жёсткий диск перекрытия; восемь комбинаций направлений ±X ± 0,3Y; с учётом деформаций сдвига |
| Запрос | Одномодальное преобразование по Приложению 5B; модальные величины из модального анализа; итерация CR |
| Проверки | ηbi ≤ 1,4, участие масс ≥ 70 %, коэффициент уровня информации |
| Повреждения | Пределы пластических поворотов и проверки деформаций сечения; предел GÖ с ωwe в концевых зонах стен жёсткости |
| Второй порядок | Эффекты P-Δ при необходимости учитываются геометрической жёсткостью |
| Верификация | Та же модель решается в SAP2000, кривая, состояния шарниров и заключения сопоставляются автоматически |
Допущения: осевое усилие в колоннах и стенах жёсткости в ходе pushover постоянно (N = G + nQ; взаимодействие осевое усилие–момент пошагово не обновляется). В упругопластической модели без упрочнения падения прочности (нисходящей ветви) нет; при сопоставлениях с SAP2000 это различие является сознательным.